Casuslar Köprüsü, 1960'lı yıllarda geçen ve gerçek olaylardan esinlenen bir hikaye sunuyor. Uçak pilotu Francis G. Powers, Sovyetler Birliği tarafından esir alındığında, bir avukat müzakereler için görevlendiriliyor. Bu süreçte, rehin alınmış bir ajanın da kurtarılması için çabalar sürüyor ve avukat, iki taraf arasında bir anlaşma sağlamak için yoğun bir diplomasi yürütüyor. Olaylar, Soğuk Savaş döneminin gergin atmosferinde gelişiyor ve iki ülke arasındaki casus değişimiyle sonuçlanıyor.